ВС + ВС2 + ВС3 + ВС4 + ВС5 + ... = ВС ( 1 + С + С2 + С3 + С4 + ... )

В  скобках  стоит  сумма  бесконечной геометрической прогрессии, равная, как
известно,  величине  1/(1-С). Следовательно, максимально возможный суммарный
доход от первого года после вложения до скончания мира равен ВС/(1-С).

  Отсюда   следует,   что   если   А/В  меньше  С/(1-С),  то  можно  указать
(рассчитать)  срок  окупаемости проекта, но он будет существенно больше, чем
А/В.  Если  же  А/В больше или равно С/(1-С), то проект не окупится никогда.
Поскольку  максимально  возможное  значение  С  равно  0,89,  то  проект  не
окупится никогда, если А/В не меньше 0,89/ 0,11 = 8,09.

  Пусть  вложения  равны 1 миллиону рублей, ежегодная прибыль составляет 500
тысяч,  т.е.  А/В = 2. Пусть дисконт-фактор С = 0.8. Каков срок окупаемости?
При  примитивном  подходе  (соответствующем  С  =  1) он равен 2 годам. А на
самом деле?

  За k лет будет возвращено

      ВС ( 1 + С + С2 + С3 + С4 + ...+ Сk )= ВС ( 1 - Сk+1) / (1-С) ,

согласно  формуле  для  суммы  конечной геометрической прогрессии. Для срока
окупаемости получаем уравнение

                1 =0,5 х 0,8 ( 1 - 0,8 k+1) / (1- 0,8), (4)

откуда  0,5  = ( 1 - 0,8 k+1), или 0,8 k+1 = 0,5. Прологарифмируем обе части
последнего уравнения: (k+1) ln 0,8 = ln 0,5 , откуда

     (k+1) = ln 0,5 / ln 0,8 = (- 0,693) / ( - 0,223) = 3,11, k = 2,11.

Срок  окупаемости оказался в данном примере равном 2,11 лет, т.е. увеличился
примерно  на  4  недели.  Это немного. Однако если В = 0,2, то вместо (3) мы
имели бы

                  1 =0,2 х 0,8 ( 1 - 0,8 k+1) / (1- 0,8),

Это  уравнение  не  имеет решения, поскольку А / В = 5 > С/(1-С) = 0.8 / (1-
0,8)  =4,  проект  не  окупится  никогда.  Окупаемости  можно ожидать лишь в
случае   А/В   <   4.  Рассмотрим  и  промежуточный  случай,  В  =  0,33,  с
"примитивным" сроком окупаемости 3 года. Тогда вместо (4) имеем уравнение

                1 =0,33 х 0,8 ( 1 - 0,8 k+1) / (1- 0,8), (5)

откуда  0,76  =  (  1  -  0,8 k+1), или 0,8 k+1 = 0,24. Прологарифмируем обе
части последнего уравнения: (k+1) ln 0,8 = ln 0,24 , откуда

    (k+1) = ln 0,24 / ln 0,8 = (- 1.427) / ( - 0,223) = 6,40, k = 5,40.

Итак,  реальный  срок  окупаемости  -  не три года, а согласно уравнению (5)